Résumé du Cours Mathématique Financière : Les Intérêts Composés
Section 1 : Principes des Intérêts Composés
On dit qu’un prêt est à intérêts composés lorsqu’à la fin de chaque période, les intérêts Simples de cette période sont à nouveau placés avec le capital pour produire conjointement des intérêts au cours de la période suivante, et ainsi de suite...
La technique des intérêts composés est généralement utilisée pour les opérations Financières à long terme (plus d’un an).
Exemple : La société MQM a placé une somme de 120 000,00dhs pendant 3 ans au taux de 3,3 %. Les intérêts sont calculés annuellement.
Calculez les intérêts simples relatifs à ce placement ?
Calculez les intérêts composés pour ce même placement ?
Corrigé :
❖ L’intérêt simple :
I = C x t x n
I = 120 000 x 3,3% x 3
I = 11 880
❖ L’intérêt composé :
• A la fin de la 1ère année: I= 120 000 x 3,3% x 1 = 3 960
• A la fin de la 2ème année : I = ( 12 000+3960) x 3,3% x 1 = 4 090,68
• A la fin de la 3ème année : I = (120 000+3960+4090,68) x 3,3% x 1 = 4 225,67
L’intérêt composé pour la période de 3 ans est :
I = 3 960 + 4 090,68 + 4 225,67
I =12 276,35
A l’intérêt composé le montant global des intérêts produit par le même capital est supérieur à celui des intérêts simples de 11 880.
Section 2 : Capitalisation et valeur acquise à intérêt composé
❖ Concept de capitalisation : La capitalisation est le fait de calculer la valeur acquise par une somme, placée au taux t, au bout de n périodes
Capitaliser un revenu revient à renoncer à le percevoir. Dans ce cas, ce revenu devient un capital qui produira à son tour un revenu pour les périodes suivantes
- La capitalisation des intérêts à la fin de chaque période est la caractéristique fondamentale du prêt à intérêts composés.
- Généralement la capitalisation est annuelle mais les parties peuvent convenir, dans un contrat, d’une capitalisation semestrielle, trimestrielle, voire mensuelle
Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 150.000,OOdhs, placé à intérêts composés durant 10 ans, au taux de 10%.
Corrigé :
La valeur acquise (ou future) d’un capital correspond à la valeur que prendra un capital qui reste placé pendant n périodes à un taux constant i.
* Formule de la valeur acquise :
• Co = le capital initial
• i = le taux d’intérêt
• n = le nombre de périodes
• Cn = la valeur acquise par Co à la fin de n périodes
La formule générale de la valeur acquise à intérêts composés est :
Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 150 000,00dhs, placé à intérêts composés pendant 10 ans au taux de 10% l’an.
On a Cn = Co (1+ i )n
C10 = 150 000 x ( 1 + 0,1 )^10 C10= 389 061,36
Application n°1:
• Calculer la valeur acquise par un capital de 70.000,00dhs placé à intérêts composés pendant 10 ans, au taux annuel de 7%.
Corrigé : Cn= Co ( 1+ i )^n Cio =70 000(1+ O.O7)10Cio= 137700,59
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Section 1 : Principes des Intérêts Composés
On dit qu’un prêt est à intérêts composés lorsqu’à la fin de chaque période, les intérêts Simples de cette période sont à nouveau placés avec le capital pour produire conjointement des intérêts au cours de la période suivante, et ainsi de suite...
La technique des intérêts composés est généralement utilisée pour les opérations Financières à long terme (plus d’un an).
Exemple : La société MQM a placé une somme de 120 000,00dhs pendant 3 ans au taux de 3,3 %. Les intérêts sont calculés annuellement.
Calculez les intérêts simples relatifs à ce placement ?
Calculez les intérêts composés pour ce même placement ?
Corrigé :
❖ L’intérêt simple :
I = C x t x n
I = 120 000 x 3,3% x 3
I = 11 880
❖ L’intérêt composé :
• A la fin de la 1ère année: I= 120 000 x 3,3% x 1 = 3 960
• A la fin de la 2ème année : I = ( 12 000+3960) x 3,3% x 1 = 4 090,68
• A la fin de la 3ème année : I = (120 000+3960+4090,68) x 3,3% x 1 = 4 225,67
L’intérêt composé pour la période de 3 ans est :
I = 3 960 + 4 090,68 + 4 225,67
I =12 276,35
A l’intérêt composé le montant global des intérêts produit par le même capital est supérieur à celui des intérêts simples de 11 880.
Section 2 : Capitalisation et valeur acquise à intérêt composé
❖ Concept de capitalisation : La capitalisation est le fait de calculer la valeur acquise par une somme, placée au taux t, au bout de n périodes
Capitaliser un revenu revient à renoncer à le percevoir. Dans ce cas, ce revenu devient un capital qui produira à son tour un revenu pour les périodes suivantes
- La capitalisation des intérêts à la fin de chaque période est la caractéristique fondamentale du prêt à intérêts composés.
- Généralement la capitalisation est annuelle mais les parties peuvent convenir, dans un contrat, d’une capitalisation semestrielle, trimestrielle, voire mensuelle
Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 150.000,OOdhs, placé à intérêts composés durant 10 ans, au taux de 10%.
Corrigé :
| Année | Capital en début de période (1) | Revenus (2) = (1) * 10% | Capital de fin de période (1) + (2) |
| l | 150000.00 | 15000.00 | 165000.00 |
| 2 | 165000.00 | 16500.00 | 181500.00 |
| ...... | ................ | ......... | ............ |
| 9 | 321538.32 | 32153.83 | 353692.15 |
| 10 | 353692.15 | 35369.21 | 389061.36 |
Valeur acquise à intérêt composé :
La valeur acquise (ou future) d’un capital correspond à la valeur que prendra un capital qui reste placé pendant n périodes à un taux constant i.
* Formule de la valeur acquise :
• Co = le capital initial
• i = le taux d’intérêt
• n = le nombre de périodes
• Cn = la valeur acquise par Co à la fin de n périodes
| Année | Capital en début de période (1) | Revenus (2) = (1) * i | Capital de fin de période (D + (2) |
| 1 | Co | Coi | Co+ Coi = Co (1+i) |
| 2 | Co(1+i) | Co( 1+i)i | Co(1+i) + Co(1+i)i = Co(1+i)2 |
| 3 | Co (1+i)2 | Co(1+i)2i | Co(1+i)2 + Co(1+i)2i = Co(1+i)3 |
| n-1 | Co(1+i)n-2 | Co (1+i)n-2i | Co( 1 +i)n-2 + Co ( 1 +i)n-2 i = Co ( 1 +i)n-1 |
| n | Co(1+i)n-1 | Co (1+i)n-1i | Co(1+i)n-1 + Co(1+i)n-1 i = Co(1+i)n |
La formule générale de la valeur acquise à intérêts composés est :
| La formule générale |
|---|
| Cn = Co (1+ i )n |
Exemple : Calculer la valeur acquise par un capital de 150 000,00dhs, placé à intérêts composés pendant 10 ans au taux de 10% l’an.
On a Cn = Co (1+ i )n
C10 = 150 000 x ( 1 + 0,1 )^10 C10= 389 061,36
Application n°1:
• Calculer la valeur acquise par un capital de 70.000,00dhs placé à intérêts composés pendant 10 ans, au taux annuel de 7%.
Corrigé : Cn= Co ( 1+ i )^n Cio =70 000(1+ O.O7)10Cio= 137700,59
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