Cours et Application Corrigés de Probabilité Semestre 2 : 76 Pages
SOMMAIRE
I- Le modèle probabiliste
1- Evènements
2- Loi de probabilité, espace de probabilité
3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables
4- Exercices
II- Probabilités conditionnelles
1- Définition
2- Deux résultats de décomposition
3- Evènements indépendants
4- Exercices
III- Variables aléatoires : généralités
1- Définitions
2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité
3- Couples de variables aléatoires
4- Variables aléatoires indépendantes
5- Exercices
IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires
1- Espérance
2- Variance, covariance
3- Exercices
V- Variables aléatoires usuelles
1- Loi de Bernoulli (p)
2- Loi binomiale
3- Loi uniforme (n, p)
4- Loi exponentielle
5- Loi de Poisson
6- Loi normale (λ) (µ, σ)
7- Exercices
VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes
1- L'inégalité de Tchebychev
2- Loi des grands nombres
3- Théorème central-limite
4- Exercices
VII- Echantillonnage
1- Description des données statistiques sur un caractère
2- Echantillons aléatoires, statistiques, estimateurs
3- Estimateurs les plus usuels
a) Moyenne de l' échantillon
b) Variance de l'échantillon
c) Fonction de répartition de l'échantillon
4- Un exemple de comparaison de l'efficacité de deux estimateurs
5- Statistiques issues d'une loi normale
a) Lois issues de la loi normale
b) Moyenne et variance d'un échantillon de loi normale
VIII- Tests d'hypothèses sur les valeurs des paramètres d'une variable aléatoire
1- Valeur de l'espérance d'une variable normale de variance connue
2- Valeur de l'espérance d'une variable normale de variance inconnue
3- Valeur de la variance d'une variable normale
4- Valeur de la probabilité d'un évènement
5- Valeur de l'espérance d'une variable aléatoire de loi quelconque
6- Intervalle de confiance pour l'estimation d'un paramètre
7- Exercices
IX- Tests portant sur l'égalité des espérances de plusieurs variables aléatoires
1- Egalité des espérances de deux variables normales
a) variables normales de variances connues
b) variables normales de même variance inconnue
c) variables normales de variances inconnues
2- Egalité de deux probabilités
3- Egalité des espérances de plusieurs variables normales : méthode de la variance
4- Exercices
X- Tests d'hypothèses non-paramétriques sur la loi d'une variable aléatoire
1- Egalité de la loi de l'échantillon et d'une loi spécifiée
a) Test du khi-deux
b) Test par simulation
2- Cas où certains paramètres ne sont pas spécifiés
3- Egalité des lois de plusieurs échantillons
4- Indépendance de deux caractères aléatoires
5- Test des signes
6- Exercices
Textes d'examens
SOMMAIRE
I- Le modèle probabiliste
1- Evènements
2- Loi de probabilité, espace de probabilité
3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables
4- Exercices
II- Probabilités conditionnelles
1- Définition
2- Deux résultats de décomposition
3- Evènements indépendants
4- Exercices
III- Variables aléatoires : généralités
1- Définitions
2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité
3- Couples de variables aléatoires
4- Variables aléatoires indépendantes
5- Exercices
IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires
1- Espérance
2- Variance, covariance
3- Exercices
V- Variables aléatoires usuelles
1- Loi de Bernoulli (p)
2- Loi binomiale
3- Loi uniforme (n, p)
4- Loi exponentielle
5- Loi de Poisson
6- Loi normale (λ) (µ, σ)
7- Exercices
VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes
1- L'inégalité de Tchebychev
2- Loi des grands nombres
3- Théorème central-limite
4- Exercices
VII- Echantillonnage
1- Description des données statistiques sur un caractère
2- Echantillons aléatoires, statistiques, estimateurs
3- Estimateurs les plus usuels
a) Moyenne de l' échantillon
b) Variance de l'échantillon
c) Fonction de répartition de l'échantillon
4- Un exemple de comparaison de l'efficacité de deux estimateurs
5- Statistiques issues d'une loi normale
a) Lois issues de la loi normale
b) Moyenne et variance d'un échantillon de loi normale
VIII- Tests d'hypothèses sur les valeurs des paramètres d'une variable aléatoire
1- Valeur de l'espérance d'une variable normale de variance connue
2- Valeur de l'espérance d'une variable normale de variance inconnue
3- Valeur de la variance d'une variable normale
4- Valeur de la probabilité d'un évènement
5- Valeur de l'espérance d'une variable aléatoire de loi quelconque
6- Intervalle de confiance pour l'estimation d'un paramètre
7- Exercices
IX- Tests portant sur l'égalité des espérances de plusieurs variables aléatoires
1- Egalité des espérances de deux variables normales
a) variables normales de variances connues
b) variables normales de même variance inconnue
c) variables normales de variances inconnues
2- Egalité de deux probabilités
3- Egalité des espérances de plusieurs variables normales : méthode de la variance
4- Exercices
X- Tests d'hypothèses non-paramétriques sur la loi d'une variable aléatoire
1- Egalité de la loi de l'échantillon et d'une loi spécifiée
a) Test du khi-deux
b) Test par simulation
2- Cas où certains paramètres ne sont pas spécifiés
3- Egalité des lois de plusieurs échantillons
4- Indépendance de deux caractères aléatoires
5- Test des signes
6- Exercices
Textes d'examens
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